Astronomía

Puntos de Lagrange y radio de la esfera Hill

Puntos de Lagrange y radio de la esfera Hill


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(Descargo de responsabilidad: sé que la "esfera de Hill" es solo una aproximación de algo que no es genuinamente esférico).

En un sistema de dos cuerpos, la fórmula aproximada para el radio de la esfera Hill del cuerpo más pequeño es

$$ r _ { mathrm {H}} approx a (1-e) sqrt [3] { frac {m} {3 M}} $$

dónde $ a $ es el semi-eje mayor de la órbita del cuerpo pequeño alrededor del más grande, $ e $ denota la excentricidad de esa órbita, $ r_H $ es, por supuesto, el radio de la esfera Hill, $ m $ es la masa del cuerpo más pequeño y $ M $ es la masa del mayor.

Si y cuando la excentricidad es insignificante, esto se aproxima más a

$$ r _ { mathrm {H}} aproximadamente a sqrt [3] { frac {m} {3M}} $$

Esta fórmula se usa a menudo para aproximar la distancia entre el cuerpo más pequeño y los puntos de Lagrange L1 y L2, aunque estas distancias no son de hecho idénticas (L2 es más distante que L1).

La distancia $ r_1 $ entre el cuerpo más pequeño y L1 se obtiene resolviendo esta ecuación (que también parece asumir una excentricidad insignificante):

$$ frac {M} { left (a-r_ {1} right) ^ 2} = frac {m} {r_ {1} ^ {2}} + frac {M} {a ^ 2} - frac {r_ {1} left (M + m right)} {a ^ 3} $$

Del mismo modo, la distancia $ r_2 $ entre el cuerpo más pequeño y L2 se obtiene resolviendo:

$$ frac {M} { left (a + r_ {2} right) ^ 2} + frac {m} {r_ {2} ^ {2}} = frac {M} {a ^ 2} + frac {r_ {2} left (M + m right)} {a ^ 3} $$

Como se señaló anteriormente, $ r_H $ obtenido usando la fórmula aproximada se aproxima a ambos $ r_1 $ y $ r_2 $.

Varias fuentes en línea utilizan lenguaje como "La esfera Hill se encuentra entre los puntos Lagrangianos L1 y L2" o "La esfera Hill se extiende en algún lugar entre los puntos Lagrangianos L1 y L2". Encuentro este lenguaje poco claro y no puedo decir cuál de las siguientes fuentes dicen:

$ r_H

$ r_H leq min (r_1, r_2) $

$ r_H

$ r_H leq max (r_1, r_2) $

$ r_1

$ r_1

$ r_1 leq r_H leq r_2 $

$ r_1 leq r_H

o algo mas.

Mientras escribo esto, no estoy seguro de cuán trivial sería trabajar con las aproximaciones de los puntos L1 y L2 para determinar si la fórmula del radio de la esfera de Hill sobreestima o subestima cada uno, así que me disculpo si esto es algo que otros usuarios de Astronomy SE lo encontraría trivial.


Dado que la pregunta es sobre desigualdades y proporciones, tomé el guión de esta respuesta y lo mejoré normalizándolo, ahora $ a = 1, M1 = 1 $ y $ m equiv M2 / M1 $

Para situaciones físicas en el espíritu de las esferas de Hill y los puntos de Lagrange, creo que la respuesta siempre será:

$$ r_1

pero no puedo probarlo, eso necesitaría matemáticas y esta noche es demasiado tarde para mí para las matemáticas.


Sin normalizar $ a = 1 $, las distancias y los radios de las esferas de Hill para los sistemas Sol-Tierra y Sol-Marte son los siguientes:

a_Earth: 149598023 km Sol-Tierra L1: 1491524 km Sol-Tierra L2: 1501504 km Tierra r_Hill: 1496531 km a_Marte: 227939200 km Sol-Marte L1: 1082311 km Sol-Marte L2: 1085748 km Marte r_Hill: 1084032 km

Ahora aplicamos las normalizaciones mencionadas anteriormente:

Python 3 o 2

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.optimize import brentq #unitless a = 1, M1 = 1, m = M2 / M1 # so para la esfera Hill y los puntos L1 / L2 de la Tierra orbitando el Sol # m = 5.9724E + 24 / 1.9886E + 30 = 4.88987E-07 y # L1 = 0.0054525 AU, r_Hill = 0.0054625 AU, L2 = 0.0054724 AU def solve_L1 (r, m): devuelve m / r ** 2 + 1. - r * (1. + m) - (1.-r) ** - 2 def solve_L2 (r, m): return 1 + r * (1 + m) - (1. + r) ** - 2 - m / r ** 2 def r_Hill (m): return (m / 3.) ** (1./3.) ms = np.logspace (-8, -1, 61) respuestas = [] para m en ms: r = r_Hill (m) L1 = brentq (solve_L1, 0.5 * r, 1.5 * r, args = (m,)) L2 = brentq (solve_L2, 0.5 * r, 1.5 * r, args = (m,)) respuestas. añadir ([L2, r, L1]) L2s, rhills, L1s = np.array (list (zip (* respuestas))) m_Jup = 1.8982E + 27 / 1.9886E + 30 rhill_Jup = r_Hill (m_Jup) L1_Jup = brentq ( solve_L1, 0.5 * rhill_Jup, 1.5 * rhill_Jup, args = (m_Jup,)) L2_Jup = brentq (solve_L2, 0.5 * rhill_Jup, 1.5 * rhill_Jup, args = (m_Jup,)) si es verdadero: plt.figure () fs = 14 plt .subplot (2, 1, 1) plt.plot (ms, rhills) plt.plot ([m_Jup], [r hill_Jup], 'ok') plt.text (0.001, 0.03, 'Jupiter', fontsize = fs) plt.ylabel ('r_Hill / a', fontsize = fs) plt.xscale ('log') plt.yscale (' log ') plt.subplot (2, 1, 2) plt.plot (ms, L1s / rhills,' - ') plt.plot (ms, L2s / rhills,' - ') plt.plot ([m_Jup], [L1_Jup / rhill_Jup], 'ok') plt.plot ([m_Jup], [L2_Jup / rhill_Jup], 'ok') plt.xlabel ('m = M2 / M1', fontsize = fs) plt.ylabel ('L1 o L2 / r_Hill ', tamaño de fuente = fs) plt.xscale (' log ') plt.show ()

Pregunta de la esfera de la colina

Noto que no tiene en cuenta la masa del satélite. ¿Se debe a que la masa del satélite no tiene efecto, o es una simplificación basada en el supuesto de que la masa del satélite es muy pequeña con respecto a las masas de los otros dos cuerpos? ¿Cómo se aplicaría a planetas gemelos?

Encontré https://www.physicsforums.com/showpost.php?p=1225193&postcount=10" que parece indicar que la masa del satélite sí importa. Si es así, ¿cómo debería modificarse la fórmula para incluir el efecto de un gran satélite?

Además, ¿qué pasa con las masas relativas de los otros dos cuerpos? Es metro se supone que es una fracción muy pequeña de METRO? Si, por ejemplo, estuviera mirando un planeta en órbita alrededor de una estrella de un sistema binario, ¿sería necesario modificar la fórmula de alguna manera?

(Estoy buscando una forma de calcular razonable límites exteriores para órbitas estables en una variedad de situaciones hipotéticas. No necesito un alto grado de precisión. Por ejemplo, aunque sería bueno incluir la excentricidad, los casos que me interesan son lo suficientemente cercanos a los circulares como para que sea una aproximación razonable).

Gracias por su asistencia.


Contenido

Los tres puntos colineales de Lagrange (L1, L2, L3) fueron descubiertos por Leonhard Euler unos años antes de que Joseph-Louis Lagrange descubriera los dos restantes. [3] [4]

En 1772, Lagrange publicó un "Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos". En el primer capítulo consideró el problema general de los tres cuerpos. A partir de eso, en el segundo capítulo, demostró dos soluciones especiales de patrón constante, la colineal y la equilátera, para tres masas cualesquiera, con órbitas circulares. [5]

Los cinco puntos de Lagrange están etiquetados y definidos de la siguiente manera:

L1 punto Editar

El l1 el punto se encuentra en la línea definida por las dos grandes masas METRO1 y METRO2, y entre ellos. Es el punto donde la atracción gravitacional de METRO2 cancela parcialmente el de METRO1. Un objeto que orbita el Sol más cerca que la Tierra normalmente tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de la propia atracción gravitacional de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces la gravedad de la Tierra contrarresta parte del tirón del Sol sobre el objeto y, por lo tanto, aumenta el período orbital del objeto. Cuanto más cerca de la Tierra esté el objeto, mayor será este efecto. En la L1 punto, el período orbital del objeto se vuelve exactamente igual al período orbital de la Tierra. L1 está a unos 1,5 millones de kilómetros de la Tierra, o 0,01 au, una centésima parte de la distancia al Sol. [6]

L2 punto Editar

El l2 El punto se encuentra en la línea que atraviesa las dos masas grandes, más allá de la menor de las dos. Aquí, las fuerzas gravitacionales de las dos grandes masas equilibran el efecto centrífugo sobre un cuerpo en L2. En el lado opuesto de la Tierra al Sol, el período orbital de un objeto normalmente sería mayor que el de la Tierra. El tirón extra de la gravedad de la Tierra disminuye el período orbital del objeto, y en el L2 punto que el período orbital se vuelve igual al de la Tierra. Como L1, L2 está a unos 1,5 millones de kilómetros o 0,01 au de la Tierra.

L3 punto Editar

El l3 El punto se encuentra en la línea definida por las dos grandes masas, más allá de la mayor de las dos. Dentro del sistema Sol-Tierra, la L3 El punto existe en el lado opuesto del Sol, un poco fuera de la órbita de la Tierra y un poco más cerca del centro del Sol que la Tierra. Esta ubicación se produce porque el Sol también se ve afectado por la gravedad de la Tierra y, por lo tanto, orbita alrededor del baricentro de los dos cuerpos, que está bien dentro del cuerpo del Sol. Un objeto a la distancia de la Tierra del Sol tendría un período orbital de un año si solo se considera la gravedad del Sol. Pero un objeto en el lado opuesto del Sol a la Tierra y directamente en línea con ambos "siente" que la gravedad de la Tierra se suma ligeramente a la del Sol y, por lo tanto, debe orbitar un poco más lejos del baricentro de la Tierra y el Sol para tener el mismo 1- período del año. Está en la L3 señalan que la atracción combinada de la Tierra y el Sol hace que el objeto orbite con el mismo período que la Tierra, en efecto orbitando una masa Tierra + Sol con el baricentro Tierra-Sol en un foco de su órbita.

L4 y yo5 puntos Editar

El l4 y yo5 los puntos se encuentran en las terceras esquinas de los dos triángulos equiláteros en el plano de la órbita cuya base común es la línea entre los centros de las dos masas, de modo que el punto se encuentra detrás (L5) o adelante (L4) de la masa más pequeña con respecto a su órbita alrededor de la masa más grande.

Estabilidad de puntos Editar

Los puntos triangulares (L4 y yo5) son equilibrios estables, siempre que la relación de METRO1 / METRO2 es mayor que 24,96. [nota 1] [7] Este es el caso del sistema Sol-Tierra, el sistema Sol-Júpiter y, por un margen menor, el sistema Tierra-Luna. Cuando un cuerpo en estos puntos se perturba, se aleja del punto, pero el factor opuesto al que aumenta o disminuye por la perturbación (ya sea la gravedad o la velocidad inducida por el momento angular) también aumentará o disminuirá, doblando la trayectoria del objeto. en una órbita estable en forma de frijol alrededor del punto (como se ve en el marco de referencia giratorio).

Los puntos L1, L2, y yo3 son posiciones de equilibrio inestable. Cualquier objeto orbitando en L1, L2, o L3 tenderá a caer fuera de órbita, por lo tanto, es raro encontrar objetos naturales allí, y las naves espaciales que habitan estas áreas deben emplear el mantenimiento de la estación para mantener su posición.

Debido a la estabilidad natural de L4 y yo5, es común que se encuentren objetos naturales orbitando en esos puntos de Lagrange de los sistemas planetarios. Los objetos que habitan esos puntos se denominan genéricamente "troyanos" o "asteroides troyanos". El nombre deriva de los nombres que se le dieron a los asteroides descubiertos en órbita alrededor del Sol-Júpiter L4 y yo5 puntos, que fueron tomados de personajes mitológicos que aparecen en Homero Ilíada, un poema épico ambientado durante la Guerra de Troya. Asteroides en la L4 punto, por delante de Júpiter, llevan el nombre de caracteres griegos en el Ilíada y se conoce como el "campamento griego". Los de la L5 Los puntos llevan el nombre de caracteres troyanos y se denominan "campo troyano". Ambos campos se consideran tipos de cuerpos de troyanos.

Como el Sol y Júpiter son los dos objetos más masivos del Sistema Solar, hay más troyanos Sol-Júpiter que para cualquier otro par de cuerpos. Sin embargo, se conocen cantidades menores de objetos en los puntos Langrage de otros sistemas orbitales:

  • El Sol-Tierra L4 y yo5 Los puntos contienen polvo interplanetario y al menos un asteroide, 2010 TK 7. [8] [9]
  • La Tierra-Luna L4 y yo5 Los puntos contienen concentraciones de polvo interplanetario, conocidas como nubes de Kordylewski. [10] [11] La estabilidad en estos puntos específicos se complica enormemente por la influencia gravitacional solar. [12]
  • El Sol-Neptuno L4 y yo5 Los puntos contienen varias docenas de objetos conocidos, los troyanos de Neptuno. [13] tiene cuatro troyanos Mars aceptados: 5261 Eureka, 1999 UJ 7, 1998 VF 31 y 2007 NS 2.
  • La luna de Saturno, Tetis, tiene dos lunas más pequeñas en su L4 y yo5 puntos, Telesto y Calypso. Otra luna de Saturno, Dione también tiene dos coorbitales lagrangianos, Helene en su L4 punto y Polideuces en L5. Las lunas deambulan en forma azimutal sobre los puntos de Lagrange, con Polideuces describiendo las desviaciones más grandes, moviéndose hasta 32 ° desde Saturno-Dione L5 punto.
  • Una versión de la hipótesis del impacto gigante postula que un objeto llamado Theia se formó en el Sol-Tierra L4 o L5 punto y se estrelló contra la Tierra después de que su órbita se desestabilizó, formando la Luna. [14]
  • En estrellas binarias, el lóbulo de Roche tiene su vértice ubicado en L1 si una de las estrellas se expande más allá de su lóbulo de Roche, perderá materia en su estrella compañera, conocida como desbordamiento del lóbulo de Roche. [cita necesaria]

Los objetos que se encuentran en órbitas de herradura a veces se describen erróneamente como troyanos, pero no ocupan puntos de Lagrange. Los objetos conocidos en órbitas de herradura incluyen 3753 Cruithne con la Tierra y las lunas de Saturno, Epimeteo y Jano.

Los puntos lagrangianos son las soluciones de patrón constante del problema restringido de tres cuerpos. Por ejemplo, dados dos cuerpos masivos en órbitas alrededor de su baricentro común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa comparativamente insignificante, podría colocarse para mantener su posición en relación con los dos cuerpos masivos. Como se ve en un marco de referencia giratorio que coincide con la velocidad angular de los dos cuerpos que co-orbitan, los campos gravitacionales de dos cuerpos masivos combinados proporcionan la fuerza centrípeta en los puntos lagrangianos, lo que permite que el tercer cuerpo más pequeño sea relativamente estacionario con respecto al dos primeros.

L1 Editar

La ubicación de L1 es la solución a la siguiente ecuación, la gravitación proporciona la fuerza centrípeta:

dónde r es la distancia de la L1 punto del objeto más pequeño, R es la distancia entre los dos objetos principales, y METRO1 y METRO2 son las masas del objeto grande y pequeño, respectivamente. (La cantidad entre paréntesis a la derecha es la distancia de L1 desde el centro de masa.) Resolviendo esto para r implica resolver una función quíntica, pero si la masa del objeto más pequeño (METRO2) es mucho menor que la masa del objeto más grande (METRO1) entonces yo1 y yo2 están a distancias aproximadamente iguales r del objeto más pequeño, igual al radio de la esfera Hill, dado por:

También podemos escribir esto como:

Dado que el efecto de marea de un cuerpo es proporcional a su masa dividida por la distancia al cubo, esto significa que el efecto de marea del cuerpo más pequeño en el L1 o en la L2 el punto es aproximadamente tres veces mayor que el del cuerpo más grande. También podemos escribir:

Esta distancia puede describirse como tal que el período orbital, correspondiente a una órbita circular con esta distancia como radio alrededor METRO2 en ausencia de METRO1, es el de METRO2 alrededor METRO1, dividido por √ 3 ≈ 1,73:

L2 Editar

La ubicación de L2 es la solución a la siguiente ecuación, la gravitación proporciona la fuerza centrípeta:

con parámetros definidos como para la L1 caso. Nuevamente, si la masa del objeto más pequeño (METRO2) es mucho menor que la masa del objeto más grande (METRO1) entonces yo2 está aproximadamente en el radio de la esfera Hill, dado por:

Se aplican las mismas observaciones sobre la influencia de las mareas y el tamaño aparente que para el L1 punto. Por ejemplo, el radio angular del sol visto desde L2 es arcsin (695.5 × 10 3 / 151.1 × 10 6) ≈ 0.264 °, mientras que el de la tierra es arcsin (6371 / 1.5 × 10 6 ≈ 0.242 °. Mirando hacia el sol desde L2 se ve un eclipse anular. Es necesario que una nave espacial, como Gaia, siga una órbita de Lissajous o una órbita de halo alrededor de L2 para que sus paneles solares reciban pleno sol.

L3 Editar

La ubicación de L3 es la solución a la siguiente ecuación, la gravitación proporciona la fuerza centrípeta:

con parámetros METRO1,2 y R definido como para la L1 y yo2 casos, y r ahora indica la distancia de L3 desde la posición del objeto más pequeño, si se gira 180 grados alrededor del objeto más grande, mientras que r positivo implica que L3 está más cerca del objeto más grande que del objeto más pequeño. Si la masa del objeto más pequeño (METRO2) es mucho menor que la masa del objeto más grande (METRO1) luego: [16]

L4 y yo5 Editar

La razón por la que estos puntos están en equilibrio es que, en L4 y yo5, las distancias a las dos masas son iguales. En consecuencia, las fuerzas gravitacionales de los dos cuerpos masivos están en la misma proporción que las masas de los dos cuerpos, por lo que la fuerza resultante actúa a través del baricentro del sistema, además, la geometría del triángulo asegura que la aceleración resultante sea igual a la distancia desde el baricentro en la misma proporción que para los dos cuerpos masivos. Siendo el baricentro el centro de masa y el centro de rotación del sistema de tres cuerpos, esta fuerza resultante es exactamente la requerida para mantener el cuerpo más pequeño en el punto de Lagrange en equilibrio orbital con los otros dos cuerpos más grandes del sistema. (De hecho, el tercer cuerpo no necesita tener una masa despreciable). Lagrange descubrió la configuración triangular general en su trabajo sobre el problema de los tres cuerpos.

Aceleración radial Editar

La aceleración radial a de un objeto en órbita en un punto a lo largo de la línea que pasa por ambos cuerpos viene dado por:

dónde r es la distancia desde el cuerpo grande METRO1 y sgn (X) es la función de signo de X. Los términos en esta función representan respectivamente: fuerza de METRO1 fuerza de METRO2 y fuerza centrífuga. Los puntos L3, L1, L2 ocurren donde la aceleración es cero - vea la tabla a la derecha.

Aunque la L1, L2, y yo3 puntos son nominalmente inestables, hay órbitas periódicas cuasi estables llamadas órbitas de halo alrededor de estos puntos en un sistema de tres cuerpos. Una completa norteUn sistema dinámico de cuerpos como el Sistema Solar no contiene estas órbitas periódicas, pero sí contiene órbitas cuasi-periódicas (es decir, limitadas pero no repetidas con precisión) que siguen trayectorias de curvas de Lissajous. Estas órbitas de Lissajous cuasi-periódicas son las que la mayoría de las misiones espaciales de puntos de Lagrange han utilizado hasta ahora. Aunque no son perfectamente estables, un modesto esfuerzo de mantenimiento de la posición mantiene una nave espacial en la órbita deseada de Lissajous durante mucho tiempo.

Para Sol-Tierra-L1 misiones, es preferible que la nave espacial esté en una órbita Lissajous de gran amplitud (100.000-200.000 km o 62.000-124.000 mi) alrededor de L1 que quedarse en L1, porque la línea entre el Sol y la Tierra ha aumentado la interferencia solar en las comunicaciones entre la Tierra y las naves espaciales. De manera similar, una órbita de Lissajous de gran amplitud alrededor de L2 mantiene una sonda fuera de la sombra de la Tierra y, por lo tanto, asegura la iluminación continua de sus paneles solares.

El l4 y yo5 los puntos son estables siempre que la masa del cuerpo primario (por ejemplo, la Tierra) sea al menos 25 [nota 1] veces la masa del cuerpo secundario (por ejemplo, la Luna). [17] [18] La Tierra tiene más de 81 veces la masa de la Luna (la Luna es el 1,23% de la masa de la Tierra [19]). Aunque la L4 y yo5 los puntos se encuentran en la cima de una "colina", como en la gráfica de contorno de potencial efectivo anterior, no obstante son estables. La razón de la estabilidad es un efecto de segundo orden: cuando un cuerpo se aleja de la posición exacta de Lagrange, la aceleración de Coriolis (que depende de la velocidad de un objeto en órbita y no puede modelarse como un mapa de contorno) [18] curva la trayectoria en un camino alrededor (en lugar de alejarse) del punto. [18] [20] Debido a que la fuente de estabilidad es la fuerza de Coriolis, las órbitas resultantes pueden ser estables, pero generalmente no son planas, sino "tridimensionales": se encuentran en una superficie deformada que se cruza con el plano de la eclíptica. Las órbitas en forma de riñón se muestran típicamente anidadas alrededor de L4 y yo5 son las proyecciones de las órbitas en un plano (por ejemplo, la eclíptica) y no las órbitas tridimensionales completas.

Esta tabla enumera los valores de muestra de L1, L2, y yo3 dentro del Sistema Solar. Los cálculos asumen que los dos cuerpos orbitan en un círculo perfecto con una separación igual al semieje mayor y no hay otros cuerpos cerca. Las distancias se miden desde el centro de masa del cuerpo más grande con L3 mostrando una ubicación negativa. Las columnas de porcentaje muestran cómo se comparan las distancias con el semieje mayor. P.ej. para la Luna, L1 se encuentra a 326400 km del centro de la Tierra, que es el 84,9% de la distancia Tierra-Luna o el 15,1% frente a la Luna L2 se encuentra a 448900 km del centro de la Tierra, que es el 116,8% de la distancia Tierra-Luna o el 16,8% más allá de la Luna y L3 se encuentra a -381 700 km del centro de la Tierra, que es el 99,3% de la distancia Tierra-Luna o 0,7084% frente a la posición "negativa" de la Luna.

Puntos lagrangianos en el Sistema Solar
Par de cuerpos Semieje mayor, SMA (× 10 9 m) L1 (× 10 9 m) 1 - L1/ SMA (%) L2 (× 10 9 m) L2/ SMA - 1 (%) L3 (× 10 9 m) 1 + L3/ SMA (%)
Tierra – Luna 0.3844 0.326 39 15.09 0.4489 16.78 −0.381 68 0.7084
Sol – Mercurio 57.909 57.689 0.3806 58.13 0.3815 −57.909 0.000 009 683
Sol – Venus 108.21 107.2 0.9315 109.22 0.9373 −108.21 0.000 1428
Sol – Tierra 149.6 148.11 0.997 151.1 1.004 −149.6 0.000 1752
Sol-Marte 227.94 226.86 0.4748 229.03 0.4763 −227.94 0.000 018 82
Sol-Júpiter 778.34 726.45 6.667 832.65 6.978 −777.91 0.055 63
Sol-Saturno 1 426 .7 1 362 .5 4.496 1 492 .8 4.635 −1 426 .4 0.016 67
Sol – Urano 2 870 .7 2 801 .1 2.421 2 941 .3 2.461 −2 870 .6 0.002 546
Sol-Neptuno 4 498 .4 4 383 .4 2.557 4 615 .4 2.602 −4 498 .3 0.003 004

Sol – Tierra Editar

Sol – Tierra L1 es adecuado para realizar observaciones del sistema Sol-Tierra. Los objetos aquí nunca son ensombrecidos por la Tierra o la Luna y, si observa la Tierra, siempre vea el hemisferio iluminado por el sol. La primera misión de este tipo fue la misión International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) de 1978 utilizada como monitor interplanetario de alerta temprana de tormentas para perturbaciones solares. [21] Desde junio de 2015, DSCOVR ha orbitado el L1 punto. Por el contrario, también es útil para los telescopios solares espaciales, ya que proporciona una vista ininterrumpida del Sol y cualquier clima espacial (incluido el viento solar y las eyecciones de masa coronal) alcanza L1 hasta una hora antes que la Tierra. Misiones solares y heliosféricas actualmente ubicadas alrededor de L1 incluyen el Observatorio Solar y Heliosférico, el Viento y el Explorador de Composición Avanzada. Las misiones planificadas incluyen la sonda de aceleración y cartografía interestelar (IMAP).

Sol – Tierra L2 es un buen lugar para los observatorios espaciales. Porque un objeto alrededor de L2 mantendrá la misma posición relativa con respecto al Sol y la Tierra, el blindaje y la calibración son mucho más simples. Sin embargo, está un poco más allá del alcance de la umbra de la Tierra, [22] por lo que la radiación solar no está completamente bloqueada en L2. Las naves espaciales generalmente orbitan alrededor de L2, evitando eclipses parciales de sol para mantener una temperatura constante. Desde ubicaciones cercanas a L2, el Sol, la Tierra y la Luna están relativamente cerca en el cielo, esto significa que una gran sombrilla con el telescopio en el lado oscuro puede permitir que el telescopio se enfríe pasivamente a alrededor de 50 K; esto es especialmente útil para la astronomía infrarroja y las observaciones de el fondo cósmico de microondas. El telescopio espacial James Webb se colocará en L2.

Sol – Tierra L3 era un lugar popular para poner una "Contra-Tierra" en la ciencia ficción pulp y los cómics. Una vez que la observación espacial se hizo posible a través de satélites [23] y sondas, se demostró que no contenía tal objeto. El Sol-Tierra L3 es inestable y no puede contener un objeto natural, grande o pequeño, durante mucho tiempo. Esto se debe a que las fuerzas gravitacionales de los otros planetas son más fuertes que las de la Tierra (Venus, por ejemplo, está dentro de 0.3 AU de este L3 cada 20 meses).

Una nave espacial orbitando cerca del Sol y la Tierra L3 podría monitorear de cerca la evolución de las regiones de manchas solares activas antes de que giren a una posición geoefectiva, de modo que el Centro de Predicción del Clima Espacial de la NOAA pueda emitir una alerta temprana de 7 días. Además, un satélite cerca del Sol-Tierra L3 proporcionaría observaciones muy importantes no solo para los pronósticos de la Tierra, sino también para el apoyo al espacio profundo (predicciones de Marte y para misiones tripuladas a asteroides cercanos a la Tierra). En 2010, las naves espaciales transfirieron trayectorias al Sol-Tierra L3 se estudiaron y se consideraron varios diseños. [24]

Las misiones a puntos lagrangianos generalmente orbitan los puntos en lugar de ocuparlos directamente.

Otra propiedad interesante y útil de los puntos colineales lagrangianos y sus órbitas Lissajous asociadas es que sirven como "puertas de entrada" para controlar las trayectorias caóticas de la Red de Transporte Interplanetario.

Tierra – Luna Editar

Tierra – Luna L1 permite un acceso relativamente fácil a las órbitas de la Luna y la Tierra con un cambio mínimo en la velocidad y esto tiene la ventaja de colocar una estación espacial tripulada a mitad de camino destinada a ayudar a transportar carga y personal a la Luna y viceversa.

Tierra – Luna L2 se ha utilizado para un satélite de comunicaciones que cubre el lado lejano de la Luna, por ejemplo, Queqiao, lanzado en 2018, [25] y sería "una ubicación ideal" para un depósito de propulsores como parte de la arquitectura de transporte espacial propuesta basada en depósitos. [26]

Sol – Venus Editar

Los científicos de la Fundación B612 estaban planeando [27] utilizar la L de Venus3 apuntan para posicionar su telescopio Sentinel planeado, que tenía como objetivo mirar hacia atrás hacia la órbita de la Tierra y compilar un catálogo de asteroides cercanos a la Tierra. [28]

Sol – Marte Editar

En 2017, la idea de colocar un escudo dipolo magnético en el Sol-Marte L1 El punto para su uso como magnetosfera artificial para Marte se debatió en una conferencia de la NASA. [29] La idea es que esto protegería la atmósfera del planeta de la radiación solar y los vientos solares.

Nave espacial en el Sol-Tierra L1 Editar

International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) comenzó su misión en el Sol-Tierra L1 antes de partir para interceptar un cometa en 1982. El Sol-Tierra L1 es también el punto en el que la misión Reboot ISEE-3 intentaba devolver la nave como la primera fase de una misión de recuperación (al 25 de septiembre de 2014, todos los esfuerzos fallaron y se perdió el contacto). [30]

El Observatorio Solar y Heliosférico (SOHO) está estacionado en una órbita de halo en L1y el Explorador de composición avanzada (ACE) en una órbita de Lissajous. WIND también está en L1. Actualmente programado para su lanzamiento a fines de 2024, la sonda de aceleración y mapeo interestelar se colocará cerca de L1.

El Observatorio del Clima del Espacio Profundo (DSCOVR), lanzado el 11 de febrero de 2015, comenzó a orbitar L1 el 8 de junio de 2015 para estudiar el viento solar y sus efectos en la Tierra. [31] DSCOVR se conoce extraoficialmente como GORESAT, porque lleva una cámara siempre orientada a la Tierra y captura fotos de fotograma completo del planeta similares a la Canica Azul. Este concepto fue propuesto por el entonces vicepresidente de los Estados Unidos Al Gore en 1998 [32] y fue una pieza central en su película de 2006. Una verdad inconveniente. [33]

LISA Pathfinder (LPF) se lanzó el 3 de diciembre de 2015 y llegó a L1 el 22 de enero de 2016, donde, entre otros experimentos, probó la tecnología que necesita (e) LISA para detectar ondas gravitacionales. LISA Pathfinder utilizó un instrumento que constaba de dos pequeños cubos de aleación de oro.

Después de transportar muestras lunares de regreso a la Tierra, el módulo de transporte de Chang'e 5 fue enviado a L1 con su combustible restante como parte del Programa de Exploración Lunar de China el 16 de diciembre de 2020, donde está estacionado permanentemente para realizar observaciones limitadas Tierra-Sol.

Nave espacial en el Sol-Tierra L2 Editar

Nave espacial en el Sol-Tierra L2 punto están en una órbita de Lissajous hasta que sean dados de baja, cuando se envían a una órbita de cementerio heliocéntrico.


Puntos de Lagrange y el radio de la esfera Hill - Astronomía

La Radio de la esfera de la colina La calculadora calcula el radio de un planeta donde un objeto ya no está bajo la influencia dominante de la gravedad del planeta, pero ahora está bajo la influencia dominante de la gravedad de la estrella.

INSTRUCCIONES: Elija unidades e ingrese lo siguiente:

  • (a) Semieje mayor de la órbita del planeta alrededor de la estrella.
  • (mi) Excentricidad de la órbita del planeta alrededor de la estrella.
  • (metro) Masa del planeta (u objeto más pequeño).
  • (METRO) Masa de la estrella (u objeto más grande).

Radio de la esfera de la colina (r): La calculadora devuelve el radio en kilómetros. Sin embargo, esto se puede convertir automáticamente a otras unidades de distancia (por ejemplo, millas) a través del menú desplegable.

Matemáticas / Ciencias

  • r = Radio de la esfera de la colina
  • a = semieje mayor de la órbita
  • e = excentricidad o la órbita
  • m = masa más pequeña (por ejemplo, planeta)
  • M = mayor masa (por ejemplo, sol)

Calculadoras de astronomía

  • Calculadora de astronomía: contiene más de 30 funciones útiles para astrónomos y estudiantes de astronomía.
  • Calculadora de la Tercera Ley de Kelper & aposs: Contiene la Tercera Ley de Kepler & aposs resuelta para cada parámetro.
  • Fuerza de gravedad: calcula la fuerza de gravedad entre dos cuerpos.
  • Radio de Schwarzschild
  • Velocidad de escape
  • Masa de un agujero negro

Gracias especiales

Gracias a Robert Frost, instructor y controlador de vuelo de la NASA por publicar esta fórmula en Quora.


Hay 5 posiciones de puntos de Lagrange.


Puntos de Lagrange son las cinco posiciones en el espacio interplanetario donde un objeto pequeño afectado solo por la gravedad puede teóricamente estar estacionario en relación con dos objetos más grandes (como un satélite con respecto a la Tierra y la Luna). Los puntos de Lagrange marcan posiciones donde la atracción gravitacional combinada de las dos grandes masas proporciona precisamente la fuerza centrípeta necesaria para rotar con ellas. Son análogos a las órbitas geosincrónicas en el sentido de que permiten que un objeto esté en una posición "fija" en el espacio en lugar de una órbita en la que su posición relativa cambia continuamente. Los puntos de Lagrange también se denominan Puntos L, o puntos de libración.

Una definición más precisa pero técnica es que los puntos lagrangianos son las soluciones estacionarias del problema circular restringido de tres cuerpos. Por ejemplo, dados dos cuerpos masivos en órbitas circulares alrededor de su centro de masa común, hay cinco posiciones en el espacio donde se podría colocar un tercer cuerpo, de masa comparativamente insignificante, que luego mantendría su posición relativa a los dos cuerpos masivos. Como se ve en un marco de referencia que gira con el mismo período que los dos cuerpos en co-órbita, los campos gravitacionales de dos cuerpos masivos combinados con la fuerza centrífuga están en equilibrio en los puntos lagrangianos, lo que permite que el tercer cuerpo esté estacionario con respecto a los dos primeros cuerpos.

Historia y conceptos de los puntos de Lagrange.

En 1772, el famoso matemático italo-francés Joseph Louis Lagrange estaba trabajando en el famoso problema de los tres cuerpos cuando descubrió una peculiaridad interesante en los resultados. Originalmente, se propuso descubrir una manera de calcular fácilmente la interacción gravitacional entre números arbitrarios de cuerpos en un sistema, porque la mecánica newtoniana concluye que tal sistema da como resultado que los cuerpos orbitan caóticamente hasta que se produce una colisión o se lanza un cuerpo. fuera del sistema para que se pueda lograr el equilibrio. La lógica detrás de esta conclusión es que un sistema con un cuerpo es trivial, ya que es simplemente estático en relación a sí mismo. Un sistema con dos cuerpos es muy simple de resolver, ya que los cuerpos orbitan alrededor de su centro de gravedad común. Sin embargo, una vez que se introducen más de dos cuerpos, los cálculos matemáticos se vuelven muy complicados. Surge una situación en la que tendría que calcular cada interacción gravitacional entre cada objeto en cada punto a lo largo de su trayectoria.

Lagrange, sin embargo, quería simplificar esto. Lo hizo con una simple conclusión: La trayectoria de un objeto se determina al encontrar una ruta que minimice la acción a lo largo del tiempo. Esto se encuentra restando la energía potencial de la energía cinética. Con esta forma de pensar, Lagrange reformuló la mecánica clásica newtoniana para dar lugar a la mecánica lagrangiana. Con su nuevo sistema de cálculos, el trabajo de Lagrange & rsquos lo llevó a plantear la hipótesis de cómo un tercer cuerpo de masa insignificante orbitaría alrededor de dos cuerpos más grandes que ya estaban orbitando entre sí, que en puntos específicos de su órbita se volverían estacionarios en relación con uno de sus cuerpos anfitriones. (planetas). Estos puntos fueron nombrados & # 34 puntos Lagrangianos & # 34 en honor a Lagrange.

En el caso más general de las órbitas elípticas, ya no hay estacionarias puntos en el mismo sentido: se vuelve más una & # 34area & # 34 lagrangiana. Los puntos lagrangianos construidos en cada punto en el tiempo, como en el caso circular, forman órbitas elípticas estacionarias que son similares a las órbitas de los cuerpos masivos. Esto se debe a la segunda ley de Newton (), dónde p = mv (pag el momento, metro la masa, y v la velocidad) es invariante si la fuerza y ​​la posición se escalan por el mismo factor. Un cuerpo en un punto lagrangiano orbita con el mismo período que los dos cuerpos masivos en el caso circular, lo que implica que tiene la misma relación de fuerza gravitacional a distancia radial que ellos. Este hecho es independiente de la circularidad de las órbitas, e implica que las órbitas elípticas trazadas por los puntos lagrangianos son soluciones de la ecuación de movimiento del tercer cuerpo.

Los puntos lagrangianos. Los cinco puntos lagrangianos están etiquetados y definidos de la siguiente manera:

La L1 El punto se encuentra en la línea definida por las dos grandes masas M1 y M2, y entre ellos.

Ejemplo: Un objeto que orbita el Sol más cerca que la Tierra normalmente tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de la propia atracción gravitacional de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces el efecto de la gravedad de la Tierra es debilitar la fuerza que tira del objeto hacia el Sol y, por lo tanto, aumentar el período orbital del objeto. Cuanto más cerca de la Tierra esté el objeto, mayor será este efecto. En la L1 punto, el período orbital del objeto se vuelve exactamente igual al período orbital de la Tierra.

El Sol-Tierra L1 is ideal for making observations of the Sun. Objects here are never shadowed by the Earth or the Moon. The Solar and Heliospheric Observatory (SOHO) is stationed in a Halo orbit at the L1 and the Advanced Composition Explorer (ACE) is in a Lissajous orbit, also at the L1 point. The Earth-Moon L1 allows easy access to lunar and earth orbits with minimal delta-v, and would be ideal for a half-way manned space station intended to help transport cargo and personnel to the Moon and back.

La L2 point lies on the line defined by the two large masses, beyond the smaller of the two.

Ejemplo: On the side of the Earth away from the Sun, the orbital period of an object would normally be greater than that of the Earth. The extra pull of the Earth's gravity decreases the orbital period of the object, and at the L2 point that orbital period becomes equal to the Earth's.

Sun-Earth L2 is a good spot for space-based observatories. Because an object around L2 will maintain the same orientation with respect to the Sun and Earth, shielding and calibration are much simpler. The Wilkinson Microwave Anisotropy Probe is already in orbit around the Sun-Earth L2. The future Herschel Space Observatory and Gaia probe as well as the proposed James Webb Space Telescope will be placed at the Sun-Earth L2. Earth-Moon L2 would be a good location for a Communications satellite covering the Moon's far side.

If M2 is much smaller than M1, then L1 y yo2 are at approximately equal distances r from M2, equal to the radius of the Hill sphere, given by:

dónde R is the distance between the two bodies.

This distance can be described as being such that the Orbital period, corresponding to a circular orbit with this distance as radius around M2 in the absence of M1, is that of M2 around M1, divided by .

La L3 point lies on the line defined by the two large masses, beyond the larger of the two.

Ejemplo: L3 in the Sun-Earth system exists on the opposite side of the Sun, a little farther away from the Sun than the Earth is, where the combined pull of the Earth and Sun again causes the object to orbit with the same period as the Earth. The Sun-Earth L3 point was a popular place to put a "Counter-Earth" in pulp science fiction and comic books - though of course, once space based observation was possible via satellites and probes, it was shown to hold no such object.

La L4 y L5 points lie at the third point of an equilateral triangle whose base is the line between the two masses, such that the point is ahead of (L4), or behind (L5), the smaller mass in its orbit around the larger mass.

The reason these points are in balance is that at L4 y yo5, the distances to the two masses are equal. Accordingly, the gravitational forces from the two massive bodies are in the same ratio as the masses of the two bodies, and so the resultant force acts through the barycentre of the system additionally, the geometry of the triangle ensures that the resultant acceleration is to the distance from the barycentre in the same ratio as for the two massive bodies. The barycentre being both the centre of mass and centre of rotation of the system, this resultant force is exactly that required to keep a body at the Lagrange point in orbital equilibrium with the rest of the system. (Indeed, the third body need not have negligible mass the general triangular configuration was discovered by Lagrange in work on the 3-body problem.)

L4 y yo5 are sometimes called triangular Lagrange points o Trojan points. The name Trojan points comes from the Trojan asteroids at the Sun-Jupiter L4 y yo5 points, which themselves are named after characters from Homer's Iliad (the legendary siege of Troy).

  • The Sun-Earth L4 y yo5 points lie 60º ahead of and 60º behind the Earth in its orbit around the Sun. They contain interplanetary dust.
  • The Sun-Jupiter L4 y yo5 points are occupied by the Trojan asteroids.
  • Neptune has Trojan Kuiper Belt objects at its Trojan points.
  • Saturn's moon Tethys has two much smaller satellites at its L4 y yo5 points named Telesto and Calypso.
  • Saturn's moon Dione has a smaller moon Helene at its L4 point.
  • The giant impact hypothesis suggests that an object named Theia formed at L4 or L5 and crashed into the Earth after its orbit destabilized, forming the moon.

Stability of Lagrange points.

The first three Lagrangian points are technically stable only in the plane perpendicular to the line between the two bodies. This can be seen most easily by considering the L1 point. A test mass displaced perpendicularly from the central line would feel a force pulling it back towards the equilibrium point. This is because the lateral components of the two masses' gravity would add to produce this force, whereas the components along the axis between them would balance out. However, if an object located at the L1 point drifted closer to one of the masses, the gravitational attraction it felt from that mass would be greater, and it would be pulled closer. (The pattern is very similar to that of tidal forces.)

Although the L1, L2, y yo3 points are nominally unstable, it turns out that it is possible to find stable periodic orbits around these points, at least in the restricted three-body problem. These perfectly periodic orbits, referred to as "halo" orbits, do not exist in a full n-body dynamical system such as the solar system. However, quasi-periodic (i.e. bounded but not precisely repeating) Lissajous orbits do exist in the n-body system. These quasi-periodic orbits are what all libration point missions to date have used. Although they are not perfectly stable, a relatively modest effort at station keeping can allow a spacecraft to stay in a desired Lissajous orbit for an extended period of time. It also turns out that, at least in the case of Sun-Earth L1 missions, it is actually preferable to place the spacecraft in a large amplitude (100,000-200,000 km) Lissajous orbit instead of having it sit at the libration point, because this keeps the spacecraft off the direct Sun-Earth line and thereby reduces the impacts of solar interference on the Earth-spacecraft communications links. Another interesting and useful property of the collinear libration points and their associated Lissajous orbits is that they serve as "gateways" to control the chaotic trajectories of the Interplanetary Transport Network.

In contrast to the collinear libration points, the triangular points (L4 y yo5) are stable equilibria (cf. attractor), provided the ratio of the masses M1/M2 is > 24.96. This is the case for the Sun/Earth and Earth/Moon systems, though by a smaller margin in the latter. When a body at these points is perturbed, it moves away from the point, but the Coriolis effect then acts, and bends the object's path into a stable, kidney bean-shaped orbit around the point (as seen in the rotating frame of reference).

Libration point missions.

The libration point orbits have unique characteristics that have made them a good choice for performing some kinds of missions. NASA has operated a number of spacecraft at the Sun-Earth L1 y yo2 points, including

The L5 Society was a precursor of the National Space Society, and promoted the possibility of establishing a colony and manufacturing facility in orbit around the L4 and/or L5 points in the Earth-Moon system (see Space colonisation).

Natural examples of Lagrange points.

In the Sun-Jupiter system several thousand asteroids, collectively referred to as Trojan asteroids, are in orbits around the Sun-Jupiter L4 y yo5 points. Other bodies can be found in the Sun-Saturn, Sun-Mars, Sun-Neptune, Jupiter-Jovian satellite, and Saturn-Saturnian satellite systems. There are no known large bodies in the Sun-Earth system's Trojan points, but clouds of dust surrounding the L4 y yo5 points were discovered in the 1950s. Clouds of dust, called Kordylewski clouds, even fainter than the notoriously weak gegenschein, are also present in the L4 y yo5 of the Earth-Moon system.

The Saturnian moon Tethys has two smaller moons in its L4 y yo5 points, Telesto and Calypso. The Saturnian moon Dione also has two Lagrangian co-orbitals, Helene at its L4 point and Polydeuces at L5. The moons wander azimuthally about the Lagrangian points, with Polydeuces describing the largest deviations, moving up to 32 degrees away from the Saturn-Dione L5 point. Tethys and Dione are hundreds of times more massive than their "escorts" (see the moons' articles for exact diameter figures masses are not known in several cases), and Saturn is far more massive still, which makes the overall system stable.

Lagrange points other co-orbitals.

The Earth's companion object 3753 Cruithne is in a relationship with the Earth which is somewhat Trojan-like, but different from a true Trojan. This asteroid occupies one of two regular solar orbits, one of them slightly smaller and faster than the Earth's orbit, and the other slightly larger and slower. The asteroid periodically alternates between these two orbits due to close encounters with Earth. When the asteroid is in the smaller, faster orbit and approaches the Earth, it loses orbital energy to the Earth and moves into the larger, slower orbit. It then falls farther and farther behind the earth, and eventually Earth approaches it from the other direction. Then the asteroid gains orbital energy from the Earth, and the asteroid moves back into the smaller orbit, thus beginning the cycle anew. The cycle has no noticeable impact on the length of the year, because Earth's mass is over 20 billion (2 10 10 ) times more than 3753 Cruithne.

Epimetheus and Janus, satellites of Saturn, have a similar relationship, though they are of similar masses and so actually exchange orbits with each other periodically. (Janus is roughly 4 times more massive, but still light enough for its orbit to be altered.) Another similar configuration is known as orbital resonance, in which orbiting bodies tend to have periods of a simple integer ratio, due to their interaction.

Lagrange points in fiction.

Lagrange points are mentioned most famously in the science fiction film 2010: el año en que nos ponemos en contacto, and the anime saga Mobile Suit Gundam. In the latter, clusters of space colonies (called "Sides") are located at the five Lagrange points of Earth, in addition to resource satellites and space fortresses. Lagrange Points have been mentioned in several other Gundam series as well.

The Lagrange points are mentioned in science fiction from time to time (most often hard science fiction), but, due to the general lack of public familiarity with them, they are rarely used as a plot device or reference.

The L5 Lagrange point is mentioned in L5: First City in Space, an early IMAX 3D movie.

In William Gibson's novel Neuromancer, much of the action takes place in the L5 "archipelago", the location of many space stations.

Lagrange points also play a role in the Larry Niven/Jerry Pournelle classic The Mote in God's Eye.

The eponymous interplanetary relay station in George O. Smith's "Venus Equilateral" stories was located in the L4 point of the Sun-Venus system.

In Robert Forward's Rocheworld the locations for Lagrange points around a binary planet are disscussed in contrast to typical system.

The planet Troas in the stories "Sucker Bait" by Isaac Asimov and "Question and Answer" by Poul Anderson was located in the L5 point of a fictional Binary star system.

En el Star Trek: The Next Generation episode, "The Survivors", the Enterprise is surprised by an enemy ship that had been hiding in a Lagrange point.

The space station Babylon 5 is described to be located "at the L-5 point in a binary star system between a moon and a barren, lifeless planet."

In the Independence War computer games, Lagrange points are used as the only locations for jump-points.

In the Battletech game series, a star's Nadir and Zenith are the standard hyperspace jump points for most interstellar spacecraft. Lagrange points (usually the L4 and L5 points) are sometimes used to enter a system closer to planets, almost always for small-scale military or pirate operations due to the risk of catastrophic misjumps.

In the PC video game Star Wars: X-Wing, Lagrange points are mentioned in the briefings of some missions that revolve around attacking objects placed at them.

In the Xbox video game Halo: Combat Evolved (2001) and sequel Halo 2 (2004), Halo Megastructures play key locations throughout the games. En Halo: CE y Halo 2, the Halo structures are in L1 Lagrange points between the Gas Giants (and a moon) Threshold and Substance, respectively.

In the Robert A. Heinlein novel The Number of the Beast, two of the main characters engage in a discussion of adding planets to the Solar System at Lagrange points.

In Hideo Kojima's video game Policenauts, the setting of the game, an O'Neill model space colony, is located at the L5 Lagrange point.

In the sci-fi series Stargate Atlantis there was a defensive Lagrangian satellite, which was most likely positioned at one of the Langrangian points.

In the Hugo Award-winning novel A Deepness in the Sky by Vernor Vinge, a temporary human habitat is built at the L1 point between the planet Arachna and its primary star, a highly variable Dwarf called the On/Off Star.

In Peter F Hamilton's Night's Dawn Trilogy, a ZZT jump drive cannot be used in a strong gravitational field. In the second book of the trilogy, The Neutronium Alchemist, the main characters cannot escape from a gas giant's gravity well before their pursuers catch up with them. Instead, they race to the Lagrange point between the gas giant and one of its moons in order to activate their drive.

In the TV series Quatermass II, the hostile aliens live on a small asteroid "no more than half a mile across" at a "theoretical point of equilibrium" on the dark side of the earth, although neither L2 or Lagrange are mentioned by name (the term "Bieber Variation" is used instead).


Calculations

  • Sun’s distance = 1 AU
  • Moon’s distance = 406700 km (the farthest point from Earth)
  • Sun’s gravitational acceleration = G * solar mass / (AU-406700 km)^2 = 0.00596433161 m / s²
  • Earth’s gravitational acceleration = (G * earth mass) / ((406700 km)^2) = 0.00240977603 m / s²
  • Centrifugal acceleration = ((G * solar mass) / (AU^3)) * (AU – (406700 km)) = 0.00591581945 m / s²
  • Total acceleration away from the Sun = 0.00240977603 m / s² + 0.00591581945 m / s² = 0.00832559548 m / s²

Because Sun’s gravitational acceleration is less than the total acceleration away from the Sun, then it is possible for the Moon to orbit Earth.

The case of an object at the edge of Earth’s Hill sphere:

  • Sun’s distance = 1 AU
  • Object’s distance = 1500000 km
  • Sun’s gravitational acceleration = G * solar mass / (AU-1500000 km)^2 = 0.00605271739m / s²
  • Earth’s gravitational acceleration = (G * earth mass) / ((1500000 km)^2) = 0.00017715055 m / s ²
  • Centrifugal acceleration = ((G * solar mass) / (AU^3)) * (AU – (1500000 km)) = 0.00587246725 m / s ²
  • Total acceleration away from the Sun = 0.00017715055 m / s² + 0.00587246725 m / s² = 0.0060496178 m / s²

The sun’s gravitational acceleration is about the same as the total acceleration away from the Sun. It will not be possible for an object here to have a stable orbit around Earth, nor around the Sun. But it is possible to have a stable orbit around this point at the edge of Earth’s Hill sphere, which is called the Lagrangian point L1.


Stability

Although the L1, L2, y yo3 points are nominally unstable, it turns out that it is possible to find (unstable) periodic orbits around these points, at least in the restricted three-body problem. These periodic orbits, referred to as "halo" orbits, do not exist in a full norte-body dynamical system such as the Solar System. However, quasi-periodic (i.e. bounded but not precisely repeating) orbits following Lissajous-curve trajectories do exist in the norte-body system. These quasi-periodic Lissajous orbits are what most of Lagrangian-point missions to date have used. Although they are not perfectly stable, a relatively modest effort at station keeping can allow a spacecraft to stay in a desired Lissajous orbit for an extended period of time. It also turns out that, at least in the case of Sun–Earth-L1 missions, it is actually preferable to place the spacecraft in a large-amplitude (100,000–200,000 km or 62,000–124,000 mi) Lissajous orbit, instead of having it sit at the Lagrangian point, because this keeps the spacecraft off the direct line between Sun and Earth, thereby reducing the impact of solar interference on Earth–spacecraft communications. Similarly, a large-amplitude Lissajous orbit around L2 can keep a probe out of Earth's shadow and therefore ensures a better illumination of its solar panels.


Calculation

Mostly one assumes that the SOI is a sphere , the radius of which can be calculated using the following formula:

  • a P < displaystyle a_

    > the major semi-axis of the planet's orbit (which corresponds to the distance from the sun, i.e. the radius of the orbit around the sun, in the case of circular orbits)

  • m < displaystyle m>the respective mass .

That is, the further the planet is from the sun and the heavier it is, the larger the sphere of influence is.


Lagrange points and the radius of the Hill sphere - Astronomy

La Hill Sphere Radius calculator computes the radius from a planet where an object is no longer under the dominant influence of the gravity of the planet but is now under the dominant influence of the gravity of the star.

INSTRUCTIONS: Choose units and enter the following:

  • (a) Semi-major axis of the orbit of the planet about the star.
  • (mi) Eccentricity of the orbit of the planet about the star.
  • (metro) Mass of the planet (or smaller object).
  • (METRO) Mass of the star (or larger object).

Hill Sphere Radius (r): The calculator returns the radius in kilometers. However, this can be automatically converted to other distance units (e.g. miles) via the pull-down menu.

The Math / Science

  • r = Hill Sphere Radius
  • a = semi-major axis of the orbit
  • e = eccentricity or the orbit
  • m = smaller mass (e.g. planet)
  • M = greater mass (e.g. Sun)

Calculadoras de astronomía

  • Astronomy Calculator : This contains over 30 functions useful to astronomers and and astronomy students.
  • Kelper&aposs Third Law Calculator : This contains the Kepler&aposs Third Law solved for each parameter.
  • Force of Gravity : This compute the force of gravity between two bodies.
  • Schwarzschild Radius
  • Escape Velocity
  • Mass of a Black Hole

Special Thanks

Thanks to Robert Frost, Instructor and Flight Controller at NASA for posting this formula on Quora.


Respuestas y respuestas

Google for Hill Sphere. Wikipedia has a good site. The Hill Sphere will give you the distance to the L1 and L2 points.

L3 is in Earth's orbit, on the opposite side of the Sun, so it is exactly 2 AU away.

L4 and L5 are 60 degrees ahead of and behind the Earth. The Earth, Sun, and L4 form an equilateral triangle, as do the Earth, Sun, and L5. So the Earth L5 distance is 1 AU. The Earth L4 distance is 1 AU. The Sun is also 1 AU from both these points.

Actually, one mass doesn't need to be smaller than the other two, at least for the L4 & L5. And I suspect the other 3 L points as well. The two orbiting masses combined need to be at most

1/25 the mass of the large object. It's possible for an Earth-mass planet to be in Earth's L4 or L5 point.